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Apuesta segura

septiembre 18, 2007

Una a puesta de bar segura: si escogemos a 50 personas, de entre estas al menos 2 personas cumplen año el mismo día.

¿Increíble, verdad? O al menos eso me pareció la primera vez que lo vi. Esta es una de las más famosas paradojas aparentes relacionadas con la probabilidad, ya que a primera vista la intuición dice todo lo contrario, al igual que pasa con todas las paradojas que se resuelven con las matemáticas, como, por ejemplo, la famosa de Monty Hall, que dentro de poco voy a dedicar una entrada a comentarla.

Volviendo al tema, realmente hay un pequeño riesgo de peder la apuesta, ya que la probabilidad es del 97%, aunque seguro que ganarás un gran numero de cenas, para entenderlo, vayamos por partes, primero la intuición y luego las matemáticas:

El fallo principal que se suele cometer es pensar “yo no conozco a más personas que hagan el cumpleaños el mismo día que yo y conozco a más de 50 personas”, pero este es un problema completamente distinto, la idea está en pensar la gran cantidad de parejas que se pueden formar entre el grupo, concretamente, entre 50 personas podemos formar 50*49/2=1225 parejas ¡muchas más que días tiene un año! ¿Empieza a cobrar sentido?

Bueno, vayamos a verlo matemáticamente, de forma muy resumida y para quien sepa un poco de probabilidad: suponiendo que todos los años tienen 365 días, vamos a calcular la probabilidad de que n cumpleaños sean diferentes:apuesta.jpg

Se ve que solo tiene sentido para n<365 días, ahora hacemos 1-p para calcular la probabilidad de que coincidan los cumpleaños.

Y aquí termino este pequeño ejemplo de como la intuición puede fallar.